自动化(控制)考研

答案 C(传递函数只取决于系统本身的结构与参数)

解析 【考点定位】出自自动控制原理数学模型章「传递函数」一节,对应考纲「传递函数的定义、性质与零极点分布」,考性质辨析;传递函数是自控全卷的开篇概念,单选、填空与简答的常设点,也是三大分析方法的公共起点。 【逐项分析】C 正确:传递函数与系统的微分方程一一对应,而微分方程只取决于系统的结构与参数,故传递函数是线性定常系统的固有特性;输入换成阶跃、斜坡或正弦,只改变输出波形,不改变输出与输入象函数之比。A 错:该说法否定了固有属性——换输入不会得到另一个传递函数,混淆了系统特性与激励响应。B 错:传递函数只刻画输入-输出的端部关系,内部状态变量信息不在其中,这正是经典控制理论后来要引入状态空间法的动因之一。D 错:传递函数建立在拉氏变换与叠加原理之上,只对线性定常系统有确定意义;非线性系统须用描述函数、相平面法等工具,时变系统也不能用定常传递函数描述。三个错项分别埋在「输入依赖、内部信息、适用范围」三处,逐一归位即可锁定 C。 【知识串联】定义三要素连记:零初始条件、线性定常、输出与输入拉氏变换之比;分母多项式即特征多项式,其根(极点)决定自由运动的模态,分子根(零点)影响各模态权重;零极点分布直接通向根轨迹与频域分析,后续各章都在这张零极点图上展开。 【易错点】以为换输入会改变传递函数,是系统特性与响应关系之混;以为传函含全部内部信息,是把端部模型与状态模型混为一谈;对非线性、时变系统套用传递函数,忽略了线性定常前提。 【变式思路】变式一:单考定义(零初始条件下输出与输入拉氏变换之比);变式二:简答「传递函数的局限性」(不反映内部状态、不适用于非线性与时变系统);变式三:给微分方程求传递函数。抓住「固有、端部、线性定常」三个关键词,概念题与计算题两头受益。

答案 B(列微分方程、拉氏变换、消中间变量、求象函数之比)

解析 【考点定位】出自数学模型章「控制系统的微分方程建模与模型互换」一节,考解析法建模的流程次序;建模方法是数学模型章的总纲,流程题在单选中出现频率稳定,也是简答「建立系统数学模型的一般步骤」的单选化。 【逐项分析】B 正确:解析建模的标准流程分三步走——先按力学、电学、热学等物理规律对各元件列写微分方程(组),再在零初始条件下对方程两边取拉氏变换,把微分方程组化为代数方程组并消去中间变量,末了整理出输出与输入象函数之比即传递函数;也可先画结构图再化简,两条路径殊途同归。A 错:传递函数是复域(s 域)模型,时域波形直接相除没有数学意义,混淆了时域与复域两个层面。C 错:根轨迹是闭环极点随参数变化的图形工具,由它反推不出确定的传递函数,次序也颠倒了。D 错:状态空间只是另一种模型形态,由微分方程可直接求传递函数,无须绕道状态空间。B 项「物理规律、拉氏变换、消元、求比」四个环节缺一不可,其余选项都在流程的起点或终点上做了手脚。 【知识串联】上游是各领域的物理规律:电气网络用基尔霍夫电压、电流定律,机械平移系统用牛顿第二定律,热力系统用热平衡关系;下游接结构图绘制与典型环节分解。中间变量的设置与消去是流程的关键动作:先借中间变量把各元件方程列全,再联立消元,得到只含输入与输出的总方程;微分方程的阶次由独立储能元件个数决定,RLC 电路、弹簧-质量-阻尼系统各举一例即可贯通。 【易错点】漏写「零初始条件」前提,拉氏变换中会多出初始条件项;消元后仍在方程中残留中间变量;把解析法与实验法建模(测阶跃响应辨识参数)混为一谈;误以为建模必须经过状态空间。 【变式思路】变式一:考各领域建模物理规律的对应关系;变式二:给 RC 网络或弹簧-质量-阻尼系统列微分方程并求传递函数;变式三:考方程阶次与独立储能元件个数的对应。流程题抓住四个关键词,即可按图索骥。

答案 A(传递函数为 s,输出正比于输入的变化率)

解析 【考点定位】出自数学模型章「典型环节」一节,考理想微分环节的传递函数与输入输出关系;典型环节是结构图分解与伯德图绘制的积木,比例、积分、微分三个基本环节的对照是概念题常客。 【逐项分析】A 正确:理想微分环节 G(s)=s,输出等于输入对时间的导数,即正比于输入的变化率;其相角恒为 +90°,幅值随频率升高线性增大,能反映输入的变化趋势,对信号走向具有预测作用——这是微分控制在动态改善中的价值来源。B 错:1/s 是积分环节的传递函数,其输出正比于输入的积分而非变化率,传递函数与功能关系双双错位。C 错:传递函数写 s 却配积分关系,微分与积分的输入输出律正好说反。D 错:τs+1 是一阶微分(比例微分)环节,相角为 +arctan(τω),随频率在 0° 到 +90° 之间连续变化,并非恒为 +90°;「恒 +90°」只属于理想微分 s。三个错项分别埋在传递函数、功能关系、相角特性上,逐项核对即可锁定。 【知识串联】与积分环节对照记忆:积分 1/s 相角恒 -90°、单位阶跃响应随时间线性增长、能提高系统型别;理想微分 s 相角恒 +90°、增加系统阻尼、抑制超调。实际系统难以实现纯微分,常用带惯性的比例微分环节近似实现,这也解释了 PD 校正网络的工程形态;比例环节 G(s)=K 则既不失真也不延迟,三者在 PID 控制规律中各司其职,与校正章互为表里。 【易错点】微分与积分的传递函数(s 与 1/s)互换记反;把一阶微分环节的相角说成恒 90°;忽视理想微分对高频噪声的放大作用——变化率大意味着噪声被强烈放大,这是微分作用的代价。 【变式思路】变式一:单考积分环节特性(阶跃响应线性增长、相角 -90°);变式二:考比例、积分、微分环节对稳态误差与动态性能的不同贡献;变式三:给环节传递函数判类型。记住「比例复现、积分累积、微分预测」,典型环节概念题即可通解。

答案 C(比较点后移乘 G(s),引出点后移串入 1/G(s))

解析 【考点定位】出自数学模型章「结构图等效变换」一节,考比较点与引出点移动的补偿规则;这是结构图化简的操作性考点,单选考规则辨析,大题里交叉多回路的拆环化简必用这套规则。 【逐项分析】C 正确:比较点后移(从环节之前移到环节之后)时,被移动的比较支路少经过了 G(s),为保持综合结果不变,须在该支路上乘 G(s) 补偿;引出点后移时,引出位置已含 G(s) 的作用,引出支路须串入 1/G(s) 才能恢复原信号——两条规则的补偿方向恰好相反,这是一对极易混淆的操作。A、B 都断言「补偿方向相同」,与上述推导直接矛盾,先排除。D 把两条规则全部写反,属记忆颠倒。解题不必死背四条搭配,抓住「移动后信号多经了还是少经了 G(s)」现场推导:少经 G 就乘 G 补回来,多经 G 就串 1/G 抵消掉,方向自明。 【知识串联】移动规则与串联、并联、反馈三种基本连接的化简公式配套使用;交叉结构先移动比较点或引出点解开交叉,再自内向外逐环化简;化简结果用梅森公式(前向通路与特征式)复核一遍,两法一致才落笔,这是结构图大题的规范动作。信号流图是结构图的另一画法,回路与通路概念同源,可互换训练。 【易错点】四条搭配搅混是高频失分点:比较点前移乘 1/G、后移乘 G,引出点前移乘 G、后移串 1/G;移动引出点时误改了主通道信号;化简途中漏乘某回路的前向通路增益。用「多经少经」现场推导代替背乘法表,可从根上防错。 【变式思路】变式一:给交叉回路结构图求闭环传递函数(先移动再化简);变式二:单考比较点前移或引出点前移的补偿因子;变式三:结构图与信号流图互换,用梅森公式直算。识别交叉、选对移动对象,是此类题的入口动作。

答案 B(σ% = 4.33%,t_p = 0.89 s)

解析 【考点定位】出自时域分析章「二阶系统动态性能指标计算」一节,考由闭环传递函数反推 ζ、ω_n 并计算超调量与峰值时间;这是时域计算题的基础形态,各校自命题卷普遍出现,常与调节时间连考,也是欠阻尼参数影响题与主导极点降阶题的计算基础。 【逐项分析】与标准式 s^2+2ζω_n s+ω_n^2 对照:常数项 ω_n^2=25,开方得 ω_n=5;一次项 2ζω_n=7.07,得 ζ=7.07/(2×5)≈0.707。超调量 σ%=e^(-πζ/√(1-ζ^2))×100%:分母 √(1-ζ^2)≈√0.5002≈0.707,指数约为 -π×0.9996,σ%≈4.33%。阻尼振荡频率 ω_d=ω_n√(1-ζ^2)≈5×0.707≈3.54 rad/s,峰值时间 t_p=π/ω_d≈3.14/3.54≈0.89 s,选 B。干扰项溯源:C 把 0.0433 缩小了一百倍,是百分号丢一个量级;D 的 4.32% 是把 ζ 取精确值 1/√2 代入的结果,应以题给系数 7.07 反推的 ζ=0.707 计算为准;A 的 t_p=0.63 s 对应 π/ω_n,丢掉了 √(1-ζ^2) 因子,属公式记漏。ζ=0.707 时 σ% 约 4.3%,是工程上常用的阻尼比取值,可当校核锚点直接记下。 【知识串联】ζ 定形、ω_n 定速:σ% 只取决于 ζ;t_p=π/ω_d 与调节时间由两者共同决定;上升时间 t_r=(π-θ)/ω_d(θ=arccos ζ)与延迟时间同族;调节时间须注明误差带口径(5% 误差带取 3/(ζω_n),2% 误差带取 3.5/(ζω_n));标准二阶系统的 c(0) 与 c'(0) 均为零,响应起始段平缓,这是严格真分式传递函数的性质。本题与阻尼比参数影响题、主导极点降阶题同属二阶系统一条知识链,三题连做即可把时域动态部分串通。 【易错点】把分子常数 25 直接当 ω_n 使用(应开方);反推 ζ 时忘除一次项系数中的 2;ω_d 与 ω_n 混用导致 t_p 算错;百分号量级丢失;D 项的「精确值陷阱」——按题给数据口径计算,不另起炉灶代精确值。 【变式思路】变式一:给 σ% 与 t_s 指标反求 ζ、ω_n(设计型);变式二:求调节时间并注明误差带;变式三:先判环节类型(振荡环节)再算指标。先定 ζ、ω_n 再套公式,是二阶性能题的固定动作;若给出的闭环传函分子不是 ω_n^2 标准形,须先化为标准式再对照系数,或另用终值定理核对稳态值。

答案 A(超调量减小、ω_d 减小、t_p 增大)

解析 【考点定位】出自时域分析章「二阶系统的单位阶跃响应」一节,考 ζ 对欠阻尼系统各项指标的联动影响;这是性能指标计算的进阶形态——不代数值,而对三个公式做单调性分析,要求把指标公式群当成一个整体来把握,是拉开区分度的参数影响题。 【逐项分析】三个量随 ζ 的变化各有公式支点。超调量 σ%=e^(-πζ/√(1-ζ^2))×100%:ζ 增大时指数的分子增大、分母减小,指数更负,σ% 减小,阻尼增强、平稳性变好。阻尼振荡频率 ω_d=ω_n√(1-ζ^2):ω_n 不变时 √(1-ζ^2) 随 ζ 增大而减小,振荡变慢。峰值时间 t_p=π/ω_d:ω_d 减小则 t_p 增大,峰值推迟出现。三者合成「更稳、更慢」的图景,选 A。B 项方向全反,超调增大对应减小 ζ 的情形;C 项错在两处——ω_d 明显随 ζ 变化,且标准二阶系统对阶跃输入的稳态值恒为 1,与 ζ 无关;D 项超调方向对但 ω_d 方向错,ω_d 增大意味着振荡加快,与 √(1-ζ^2) 减小的事实相反。逐项回到公式验证,不凭印象作答。 【知识串联】ζ 从 0 到 1 的区间全景:ζ=0 等幅振荡;0<ζ<1 衰减振荡,ζ 增大超调减小;ζ=1 临界阻尼,ζ>1 过阻尼,均单调无超调。ω_n 的作用与 ζ 正交:ζ 不变时 ω_n 只压缩时间轴而不改变超调,「ζ 定形、ω_n 定速」是二阶系统的总纲,也是参数设计题的解题抓手;两个二阶系统 ζ 相同而 ω_n 相差四倍时,响应曲线形状相似、时间轴按比例伸缩,即此结论的直接应用。 【易错点】把「阻尼增大」直观理解成「一切都变慢」却在超调方向上答反;以为 ω_d 与 ζ 无关;把稳态值卷进来——标准式分子为 ω_n^2,对阶跃输入稳态值恒 1,与两个参数都无关。 【变式思路】变式一:保持 ζ 不变增大 ω_n,问各指标如何变化(时间类指标按比例缩短,超调不变);变式二:给超调量指标反求 ζ 的允许范围;变式三:ζ>1 过阻尼区间的单调性与无超调特性讨论。凡参数影响题,先写出各指标公式再逐一判单调,是通用解法。

答案 A(0 < K < 330)

解析 【考点定位】出自时域分析章「劳斯稳定判据」一节,考由判据反求开环增益的稳定范围;「求使闭环稳定的 K 取值范围」是劳斯判据的标准考法,常接「求临界增益与等幅振荡频率」一问。 【逐项分析】闭环特征方程为 s(s+5)(s+6)+K=0,展开 s^3+11s^2+30s+K=0。列劳斯表:s^3 行取 1、30;s^2 行取 11、K;s^1 行取 (11×30-1×K)/11=(330-K)/11;s^0 行取 K。首列全正的充要条件为 K>0 且 330-K>0,故稳定范围 0<K<330,选 A。K=330 时 s^1 行出现全零,由辅助方程 11s^2+330=0 解得一对纯虚根 ±j√30,系统临界稳定、以约 5.48 rad/s 的角频率等幅振荡。干扰项溯源:B 的 660 恰为正确值的二倍,属系数相乘时把 11×30 记成 11×60 一类错值;C 的 165 是半值,对应 s^2 行系数或极点之和算错的情形;D 的对称区间无依据——K<0 时 s^0 行首列为负,系统已不稳定。三阶系统 s^3+as^2+bs+K 的稳定条件可直接记 0<K<ab,本题 ab=11×30=330,与完整列表互验。 【知识串联】临界增益 K=330 正是该系统根轨迹与虚轴交点处的增益——劳斯判据与根轨迹在此打通;劳斯表与辅助方程联用还能解出交点频率 √30,是时域与根轨迹两章知识的天然交汇点,大题常以「求临界 K 与振荡频率」合并设问;赫尔维茨判据是同源的代数判据(由特征方程系数构成各阶行列式并要求全正),与劳斯表二选一使用,结论一致。 【易错点】特征方程漏加 K(忘了写 1+G=0);展开漏项;把临界稳定答成「稳定」——临界情形工程上按不稳定处理;口算结论与完整列表应双轨互验后再落笔。 【变式思路】变式一:四阶以上系统完整列表求 K 范围;变式二:求临界 K 及对应的振荡频率(辅助方程法);变式三:给 K 已定,判断系统稳定性并数右半平面根的个数;变式四:非单位反馈或含开环零点的系统,先把特征方程 1+G(s)H(s)=0 展开成多项式再列表。列表规范、逐行盯首列符号,是判据题的全部纪律。

答案 B(首列零用 ε 法,全零行用辅助方程法)

解析 【考点定位】出自时域分析章「劳斯判据的特殊情况」一节,考首列零元素与全零行两种异常的区分处理;这是劳斯判据的进阶考点,概念与操作两层都考,也是历年判稳大题里设卡的位置,答对的前提是先分类再选工具。 【逐项分析】B 正确,把两种情况的含义与处理各自说清。其一,首列出现零而该行其余元素不全为零:列表无法直接继续,用任意小的正数 ε 替代零元素续算,末了令 ε 趋于 0 正读首列符号,符号变化次数即右半平面根数,此为 ε 法。其二,整行所有元素均为零:成因是特征方程存在关于原点对称的根——大小相等、符号相反的实根对、共轭纯虚根或对称复根对;处理时用全零行上一行的元素构成辅助方程,对辅助方程求一次导数,以导数系数替换全零行继续列表,此为辅助方程法。A 错在把两者混为一种,恰好命中命题陷阱。C 错:首列零只是运算卡壳,不必然存在对称根;对称根的信号是全零行。D 错:全零行可出现在任意一行,只要该处出现对称根组,与行号无关。 【知识串联】辅助方程本身是采分点:其根恰为特征方程中关于原点对称的那部分根,次数恒为偶数;解辅助方程可直接得到纯虚根即临界振荡频率,与根轨迹虚轴交点的求法呼应。ε 法读符号时,首列出现 -ε 即记一次变号;若对称根是正负实根对而非纯虚根,系统直接不稳定,两类结局要分开表述。 【易错点】两种情况互相错用工具(对全零行用 ε、对首列零用辅助方程)是典型失分;辅助方程忘了求导就以原系数续表;以为全零行等于必不稳定——对称根可能在虚轴(临界)也可能在左右两半平面,须继续列表定夺。 【变式思路】变式一:给含参数特征方程,列表出现全零行,求参数临界值与振荡频率;变式二:ε 法续表后判稳并数右根个数;变式三:辅助方程次数规律判断(恒为偶数)。先分类、再选工具,是此类题的入口判断。

答案 答题要点:①型别:开环传递函数在坐标原点处含一个积分环节 s,系统为 I 型;K_v = lim(s→0) s·G(s) = lim(s→0) 50/(s+4) = 50/4 = 12.5;②稳态误差:e_ss = 1/K_v = 1/12.5 = 0.08;③复核:E(s)/R(s) = 1/(1+G(s)) = s(s+4)/(s(s+4)+50),r(t) = t 时 R(s) = 1/s^2,e_ss = lim(s→0) sE(s) = lim(s→0) (s+4)/(s^2+4s+50) = 4/50 = 0.08,与静态误差系数法一致。

解析 【考点定位】出自时域分析章「稳态误差计算」一节,考型别判别、静态速度误差系数与终值定理双法求斜坡输入下的稳态误差;稳态误差与稳定性、动态性能并称时域三大主题,计算题形态在各校卷中稳定出现。 【得分点结构】按约 13 分口径拆分。型别判断与依据 2 分:开环传函分母含 s 的一次因子,原点处一个极点,系统为 I 型。静态速度误差系数 4 分:K_v=lim(s→0) s·G(s)=lim(s→0) 50/(s+4)=50/4=12.5;注意必须做 s→0 的极限,不能直读开环增益 50——惯性环节因子 (s+4) 在极限中贡献 4。稳态误差 3 分:I 型系统对单位斜坡输入 e_ss=1/K_v=1/12.5=0.08。终值定理复核 4 分:误差传函 E(s)/R(s)=1/(1+G(s))=s(s+4)/(s(s+4)+50),R(s)=1/s^2,故 e_ss=lim(s→0) sE(s)=lim(s→0) (s+4)/(s^2+4s+50)=4/50=0.08,与误差系数法一致。终值定理适用前提须核验:sE(s) 的极点全在 s 左半平面(闭环特征方程 s^2+4s+50 各系数为正且系统稳定),条件满足方可使用。 【知识串联】「型别×输入形式×稳态误差」九宫格是本节总表:0 型系统对斜坡误差趋于无穷,I 型对斜坡误差为常数 1/K_v、对阶跃误差为零,II 型对斜坡误差为零;开环增益越大误差越小,但增益过高常危及稳定,精度与稳定的权衡贯穿校正设计;K_v 与开环增益 K 的区别(必须求极限而非直读)是概念与计算的双重考点,也是本题第二采分点。 【易错点】K_v 直读 50 得 e_ss=0.02(漏掉惯性因子);误用位置误差系数 K_p(I 型系统 K_p 为无穷,误算得零误差);两种方法结果对不上仍不回头查;漏写终值定理的适用条件核验。 【变式思路】变式一:输入改阶跃或加速度信号,换用 K_p、K_a 计算;变式二:扰动作用下的稳态误差(对扰动单独求误差传函);变式三:串联迟后校正提高 K_v 的设计题。凡稳态误差题,双法互验后再落笔。

答案 B(距虚轴最近、附近无零点、其余极点距离 3-5 倍以上)

解析 【考点定位】出自时域分析章「主导极点与偶极子」一节,考主导极点的选取条件;高阶系统降阶近似是时域分析的收口考点,概念题为高阶系统按二阶近似估算指标的计算题作铺垫。 【逐项分析】B 正确,三个条件各有含义。其一,距虚轴最近:闭环极点对应分量的衰减由其实部决定,离虚轴越近衰减越慢、存留时间越长,对过渡过程的影响因而占主导。其二,附近无闭环零点:若近旁有零点,零极点作用近似抵消(构成偶极子),该极点反而失去主导作用。其三,其余极点到虚轴的距离不小于它的 3-5 倍:远极点分量衰减快得多、影响可忽略,系统方能按主导极点近似为低阶(常为二阶)系统估算指标。A 错:选「距虚轴远」的极点与主导概念正相反,远极点分量早早消失。C 错:主导极点用于稳定系统的动态分析,位于左半平面才有意义,右半平面的极点意味着系统已不稳定。D 错:附近配置零点恰好抵消其作用,是不主导的情形。 【知识串联】偶极子与主导极点是配套概念:靠得很近的闭环零极点构成偶极子、作用近似抵消;工程上也反向利用这一点,引入零点去抵消不利极点。降阶后按二阶公式估算超调量与调节时间,是高阶系统动态分析的常规路径;它与根轨迹章「增加开环零极点改变极点分布」的分析互为呼应,两章在此接通。 【易错点】把「距虚轴近」记反成「离虚轴远」;漏掉「附近无零点」条件,见到近旁有零点的极点仍按主导处理;忽略 3-5 倍经验界,对极点距离接近的系统强行降阶。三个条件逐一核验,再下「可按二阶近似」的结论。 【变式思路】变式一:给一组闭环极点(如 -1±j2 与 -10、-20)判主导极点并按二阶近似算指标;变式二:考偶极子定义与对消条件;变式三:判「远极点可否忽略」须同时核距离与近旁零点。条件核验式作答,是主导极点题的规范动作。

答案 C(σ_a = -2,夹角为 60°、180°、300°)

解析 【考点定位】出自根轨迹章「绘制基本法则」一节,考渐近线交点与夹角两个公式;渐近线是手绘根轨迹草图的骨架数据,单选或绘图题首问的常设点,公式记牢即为口算题。 【逐项分析】开环极点为 0、-1、-5,无开环零点,n-m=3,渐近线共三条。交点 σ_a=(Σ极点-Σ零点)/(n-m)=(0-1-5)/3=-2;夹角 φ=(2k+1)·180°/(n-m),k=0、1、2,得 60°、180°、300°,选 C。干扰项溯源:A 的 σ_a=-6 是只算了极点之和(0-1-5=-6)忘除 n-m;B 的 σ_a=1 符号错,45° 系夹角分母误用 4(四阶无零点系统的夹角);D 交点正确但夹角 90° 系分母误用 2,是二阶系统的夹角组,半对半错仍不成立。三条渐近线把 s 平面三等分(相邻夹角 120°),可作数形自检:草图上三条线间隔均匀即为合理。 【知识串联】该系统特征方程 s^3+6s^2+5s+K=0,由劳斯判据得临界增益 K=30,即根轨迹与虚轴交点处的增益;分离点由 dK/ds=0 解得约 -0.472。渐近线的含义:K 很大时部分闭环极点趋向无穷远,根轨迹分支渐近地靠拢这组直线,n-m 条渐近线对应趋向无穷远的分支数,其余 m 条分支趋向开环零点。渐近线、分离点、虚轴交点三个数据配齐,即可徒手勾出整幅根轨迹草图并分段判稳——渐近线法则与进阶法则组合命题的内在逻辑即在于此。 【易错点】把渐近线交点 σ_a 当作分离点(σ_a 是渐近线的公共点,一般不在根轨迹上);交点公式忘除 (n-m);夹角公式误用 2k·180°(那是零度根轨迹的口径,用于正反馈情形);算 Σ极点时漏掉原点处的极点;把渐近线夹角与出射角混为一谈。 【变式思路】变式一:零极点个数变化后重算交点与夹角;变式二:含开环零点系统的渐近线(n-m 减小,方向随之改变);变式三:由渐近线反推开环极点之和(σ_a×(n-m)=Σp-Σz)。两组公式默写无误,此类题即为固定送分点。

答案 A(令 dK/ds=0 求驻点并检验实轴条件)

解析 【考点定位】出自根轨迹章「绘制进阶法则」一节,考分离点(会合点)的求取方法;分离点与渐近线、虚轴交点并称手绘根轨迹的三个关键数据,单选考方法,绘图题考数值,常在草图题的第二问出现。 【逐项分析】A 正确:分离点是根轨迹在实轴上两分支相遇又分离的位置,对应闭环特征方程出现重根;把特征方程改写为 K=K(s) 的显式表达式,重根处恰为 K(s) 的驻点,故令 dK/ds=0 解出候选实根,再舍弃不满足实轴根轨迹判据的根,剩下的即分离点——「求导加检验」两步缺一不可。该条件等价于 Σ1/(s-p_i)=Σ1/(s-z_j),无零点系统即 Σ1/(s-p_i)=0。B 错:令分子为零解得的是开环零点,是根轨迹的终点而非分离点。C 错:一次项系数与分离点无对应关系,属凑条件。D 错:分离点可解析求出,如 G(s)=K/(s(s+2)) 时特征方程 s^2+2s+K=0,由 dK/ds=-(2s+2)=0 得分离点 s=-1,恰在两极点 0 与 -2 的中点,解析过程清晰。 【知识串联】分离点的位置规律可作校验:实轴上两相邻开环极点之间若有根轨迹,分离点必落在其间;两相邻零点之间则是会合点。出射角、入射角(复数极点、零点处根轨迹切线方向,由相角条件求)与分离点同属进阶法则,绘图题常要求三个数据齐备后勾出草图全貌并分段判稳。 【易错点】求出 dK/ds=0 的根后忘记检验实轴条件,把落在非根轨迹区段的根误作分离点;将开环零点当作分离点;对「实轴分离点」的讨论前提没有意识,遇复数分离点概念时反应迟滞;解出无理数根时漏舍不合理解的。 【变式思路】变式一:给具体三阶系统求数值分离点(常得无理数解,保留两位即可);变式二:分离点概念辨析(特征方程重根处、两分支相遇点);变式三:出射角公式 θ=(2k+1)π+Σθ_z-Σθ_p 的套用。「K(s) 求导加实轴检验」是通法,记住即可通吃。

答案 A(正反馈或特征方程化为 1-G(s)H(s)=0 的情形)

解析 【考点定位】出自根轨迹章「参数根轨迹与零度根轨迹」一节,考零度根轨迹的适用条件;零度根轨迹是根轨迹法的扩展形态,概念题为绘制正反馈系统或某些非 K 参数系统根轨迹的入口判断,口径选错则整幅图全错。 【逐项分析】A 正确:负反馈系统闭环特征方程为 1+G(s)H(s)=0,相角条件为 (2k+1)·180°(奇数倍 π),即常规 180° 根轨迹;而正反馈系统(或某些经变形后特征方程呈 1-G(s)H(s)=0 的系统)对应 G(s)H(s)=1,相角条件变为 2kπ(偶数倍 π,含 0°),故称零度根轨迹。判别入口只有一个:特征方程化到 1±G(s)H(s)=0 后看符号。B 错:负反馈一律对应 180° 根轨迹,恰是零度的对立面。C 错:「单位反馈」指反馈通道传函为 1,与相角条件的 0°/180° 之分无关,关键是反馈极性而非单位与否。D 错:开环增益为负的负反馈系统,其特征方程化为 1-G(s)H(s)=0 形式时确实按零度处理,但「只有」二字把适用面收窄了——正反馈才是典型情形,此项以偏概全。零度与 180° 根轨迹共享幅值条件 |G(s)H(s)|=1,只差相角口径。 【知识串联】零度根轨迹的实轴判据与常规情形相反:实轴上某段右侧的开环实零点、实极点总数为偶数时该段属零度根轨迹(常规根轨迹要求奇数)。参数根轨迹(研究时间常数等非 K 参数变化)经等效开环传函变形后,可能落在 180° 也可能落在零度口径,判别动作同样是看变形后特征方程的符号;等效传函构造方法「待变参数置于增益位置」须与口径判断连用。 【易错点】把「单位反馈」与「正反馈」混为一谈;记反实轴判据的奇偶性;参数根轨迹等效变形后符号变了仍按 180° 法则绘制,整幅图面目全非;以为零度根轨迹另有一套绘制法则——法则相同,口径不同。 【变式思路】变式一:给正反馈系统判根轨迹口径并画实轴段;变式二:非 K 参数的等效开环传函构造(如特征方程 s^2+Ts+5=0 变形为 1+T·s/(s^2+5)=0);变式三:同一开环传函分别画 180° 与零度根轨迹并对比稳定性结论。见到特征方程先定符号口径,再谈法则。

答案 A(Z = P - 2N:P 为开环右半平面极点数,N 为正穿越数减负穿越数)

解析 【考点定位】出自频域分析章「奈奎斯特稳定判据」一节,考判据公式 Z=P-2N 及各量含义,并深化穿越计数的口径;奈氏判据是频域法的理论核心,单选考公式,大题考数穿越判稳,是频域部分分值占比居前的考点。 【逐项分析】A 正确:Z=P-2N 中,Z 为闭环右半平面极点数,Z=0 时闭环稳定;P 是开环(而非闭环)右半平面极点数,由开环传函分母直接数出;N 为开环幅相曲线对 (-1,j0) 点的穿越数——随频率增大,曲线自上而下穿过 (-1,j0) 点以左的负实轴段记正穿越一次,自下而上记负穿越一次,N=正穿越数-负穿越数。计穿越有三条细则:只计 (-1,j0) 左侧那段负实轴,临界点右侧的穿过不算;一次完整穿越在公式中按 2 计入;曲线起点或终点恰落在负实轴段上时记半次穿越 1/2。B 错在两处:P 应为开环极点数,N 的正负方向也说反。C 错:穿越按 2 计入公式,不是简单相加。D 错:P 与 N 之间无乘积关系。 【知识串联】判稳流程固化为三步:先由开环传函数出 P,再读图数 N,末了算 Z=P-2N,Z=0 即稳定。对数频率稳定判据(在伯德图上按对数幅频大于零的频段数相角穿越)是同一判据的另一形态;开环含积分环节时幅相曲线要补画半径无穷大的圆弧后再计数,是判据应用的常见加难设问。 【易错点】P 误数成闭环极点;穿越数到了全负实轴段都计;半次穿越漏计;个别教材把 N 定义为负穿越减正穿越并相应改写公式——答题以目标院校指定教材口径为准,但「P 取开环、Z 指闭环、穿越计双倍」的骨架各书一致。 【变式思路】变式一:给幅相曲线图判稳(数 N 算 Z);变式二:伯德图上用对数判据判稳;变式三:开环含右半平面极点(非最小相位系统)的判稳。把「数 P、数 N、算 Z」写成固定流程,概念题与判稳大题通吃。

答案 A(ω_c ≈ 2.127,γ ≈ 25.2°)

解析 【考点定位】出自频域分析章「稳定裕度」一节,考截止频率求解与相角裕度计算;给低阶开环传函求 ω_c 与 γ 是频域计算题的基础形态,常与伯德图绘制、裕度的工程意义连考。 【逐项分析】截止频率由 |G(jω_c)|=1 解出:5/(ω_c·√(ω_c^2+1))=1,即 ω_c^2(ω_c^2+1)=25,这是关于 ω_c^2 的一元二次方程,解得 ω_c^2=(√101-1)/2≈(10.05-1)/2≈4.525,ω_c≈2.127 rad/s。开环相角 ∠G(jω_c)=-90°-arctan(ω_c/1),相角裕度 γ=180°+∠G(jω_c)=90°-arctan(2.127)≈90°-64.8°≈25.2°,选 A。干扰项溯源:B 截止频率对而相角错,43.9° 属相角算式代错的一类错值,按 90°-arctan(2.127) 复算一遍即可排除;C 的 ω_c=5 是误把开环增益 K 当截止频率——K 只定低频渐近线高度,不等于穿越频率;D 的 154.8° 恰为 |∠G(jω_c)|=90°+64.8°,把开环相角的大小当成了裕度,忘了 γ=180°+∠G 中 ∠G 取负值。落笔前用「相角裕度应为不大的正角度」做量级自检。 【知识串联】工程上常要求相角裕度在 30°-60°、幅值裕度大于 2(约 6 dB);本题 γ=25.2° 偏小,对应闭环超调偏大,量级感可直接校核计算结果。在伯德图上,ω_c 即对数幅频曲线穿越 0 dB 线的频率,γ 为该频率处相频曲线与 -180° 线的距离——裕度计算与伯德图折线近似天然配套,两题连做可互为印证。截止频率两侧,ω 低于 ω_c 时幅值大于 1,高于 ω_c 时小于 1;本结构中 K 只改变幅频高度,ω_c 随之移动而相频不变,这解释了「K 增大、γ 减小」的联动。 【易错点】|G(jω)|=1 的方程在开方环节出错;γ 公式忘带开环相角的负号;把相角大小当裕度;幅值裕度与相角裕度定义互换——幅值裕度在相角穿越频率处度量,两者度量位置不同。 【变式思路】变式一:同结构系统改 K 值重解(K 增大则 ω_c 右移、γ 减小);变式二:求幅值裕度 h 及其对数形式 20lgh;变式三:由相角裕度要求反求 K 的允许范围。先解幅值方程定 ω_c,再算相角,末了量级自检,是三步固定动作。

答案 C(惯性 -20、一阶微分 +20、振荡 -40 dB/dec)

解析 【考点定位】出自频域分析章「开环对数频率特性(伯德图)绘制与折线近似」一节,考转折频率处的斜率变化规则;折线近似是伯德图手绘的核心技术,斜率变化量表是必须整表记忆的内容,也是由伯德图反求传递函数的地基。 【逐项分析】C 正确,斜率变化量表为:惯性环节 1/(Ts+1) 在转折频率 1/T 之后幅频以 -20 dB/dec 衰减,故经过 1/T 斜率变化 -20;一阶微分环节 τs+1 与惯性环节互为倒数,经过 1/τ 斜率变化 +20;振荡环节是二阶环节,经过 ω_n 斜率变化 -40(二阶微分环节对称地为 +40)。串联系统的对数幅频等于各环节之和,折线斜率沿频率增大方向逐段累加这些变化量。A 错:把惯性与一阶微分的符号正好互换——惯性滞后衰减、微分超前抬升,方向记反则全图皆错。B 错:振荡环节是二阶环节,斜率变化为 -40 而非 -20,按一阶记会得到错误的衰减速率。D 错:折线正是在转折频率处改变斜率,这是「折线」二字的含义;相角并不跳变,各环节相角随频率连续渐变(惯性环节相角从 0° 连续变到 -90°)。 【知识串联】整幅折线的绘制流程与之配套:先把各转折频率从小到大排序,按型别 v 画低频段(斜率 -20v dB/dec,ω=1 处高度 20lgK),再沿频率增大方向每遇转折频率叠加对应斜率变化——低频段「v 定斜率、K 定高度」与本题斜率表合起来即折线作图的全部规则。转折频率处精确曲线与渐近线约有 3 dB 误差(惯性环节),必要时局部修正。 【易错点】惯性 -20 与微分 +20 的符号互换是高频错点;振荡环节记成 -20(丢掉二阶倍率);混淆「转折频率处斜率变化」与「该处相角值」;低频段斜率规则与转折处斜率变化混用。 【变式思路】变式一:给开环传函写出整条折线的分段斜率序列;变式二:由折线(含斜率与转折频率)反求传递函数——最小相位系统的幅频与相频一一对应,折线即可定传函;变式三:低频段位置与型别、增益的互推。斜率表加两条低频段规则,折线题即可通解。

答案 A(幅值恒为 1,相角 -τω 随频率无界滞后)

解析 【考点定位】出自频域分析章「延迟系统的奈氏判据与特点」一节,考延迟环节 e^(-τs) 的频率特性形态;延迟环节是典型环节表的收官成员,「保幅、滞相、相角无界」三个短语是其全部画像,单选与判稳大题都常设点。 【逐项分析】A 正确:延迟环节频率特性 G(jω)=e^(-jτω),模恒等于 1,幅频特性是与频率无关的水平线;相角为 -τω,随 ω 增大线性累积、无上界地滞后。B 错:该项描述的是惯性环节 1/(Ts+1) 的画像(幅值衰减、相角以 -90° 为界),张冠李戴。C 错:否认相移,与相角 -τω 不恒为零矛盾;若真无相移,延迟环节就无须单独设节讨论。D 错:幅值增大、相角超前两个方向都错,超前对应微分类环节。B 与 A 的对照正是本考点的命题支点:惯性环节「幅值衰减、相角有界」,延迟环节「幅值不变、相角无界」,两行对照表记牢,选项即秒判。 【知识串联】延迟环节串入开环通道后,开环幅频特性完全不变,各频率相角统一叠加 -τω,幅相曲线因此呈螺旋状卷向原点,相角裕度被持续削减;含 e^(-τs) 的闭环特征方程是超越方程,劳斯、赫尔维茨等代数判据不便直接使用,判稳回到奈氏判据——这正是延迟系统与奈氏判据编在同一节的原因。长管道、长传输线与过程工业的纯迟延是其实际来源。 【易错点】把延迟环节与惯性环节的频率特性互换(界值 -90° 与无界之别);以为延迟会衰减幅值;忽视相角随频率无限累积——只看低频段近似无相移,会低估其对稳定性的威胁。 【变式思路】变式一:考延迟系统的判稳工具选择(奈氏判据,因特征方程为超越方程);变式二:含延迟系统相角裕度估算(在原裕度基础上减去 τω_c);变式三:延迟环节与惯性环节特性对照判断。抓住「保幅滞相」,延迟类题目即可归位。

答案 B(比例加快响应、积分消除稳态误差、微分改善动态)

解析 【考点定位】出自校正章「PID 控制规律」一节,考比例、积分、微分三个分量的作用匹配;PID 是校正思想的浓缩形态,单选考分量作用,简答常考「积分或微分环节对系统性能的影响」,亦是工业现场与课堂的公共语言。 【逐项分析】B 正确:比例 P 的输出与误差成正比,能提高开环增益、加快响应并一定程度减小稳态误差,但单靠比例消不平稳态误差,有余差存在;积分 I 的输出与误差对时间的积分成正比,误差存在就持续累积,直至稳态误差为零,是消除余差的主力,代价是引入 -90° 相位滞后、压缩相角裕度;微分 D 的输出与误差变化率成正比,误差快速增大时提前给出较强修正,相当于增大系统阻尼、抑制超调,改善动态性能,代价是放大高频噪声。A 错:三项职能张冠李戴——比例消不了稳态误差,积分的长处不在快,微分与稳态精度无关。C 错:三分量在时域上的作用本质完全不同。D 错:消稳态误差的是积分不是微分,放大噪声的是微分不是积分,且比例作用对系统影响重大。 【知识串联】三种组合各成体系:P 控制结构简单但有余差;PD 加重微分,提供正相角、增大阻尼,改善动态而稳态精度无改进;PI 以积分消差、提高稳态精度,以牺牲一定快速性为代价,是过程控制的主力形态;PID 三者兼用,以积分消差、以微分抵消积分带来的相位滞后,兼顾动态与稳态。该谱系与串联超前校正(近似 PD)、串联迟后校正(近似 PI)的频域作用一一对应,两章对照复习事半功倍。 【易错点】认为微分能消除稳态误差(稳态时误差变化率为零,微分输出为零);忽视积分的相位滞后代价与微分的噪声放大缺点;把「加快响应」记到积分头上;稳态时微分输出为零这一性质常被反过来设错。 【变式思路】变式一:单考积分环节对稳定性与稳态误差的双重影响;变式二:PD、PI、PID 三种控制器的频域特征判断(超前、迟后、迟后-超前);变式三:与串联超前、迟后校正网络对照归类。「比例提速有余差、积分消差添滞后、微分抑振放噪声」的口诀逐项归位,错项均为职能错位设计。

答案 A(ω_s ≥ 2ω_max)

解析 【考点定位】出自离散系统章「采样过程与采样定理」一节,考香农采样定理的数量条件;采样定理是离散章的开篇考点,单选与填空考不等式,简答常考频谱混叠及其后果,是数字控制的理论地基。 【逐项分析】A 正确:采样定理要求采样角频率不低于连续信号最高角频率的两倍,即 ω_s≥2ω_max(以采样周期表示即 2π/T≥2ω_max)。其原理链条分三步:理想采样后,采样信号的频谱是原信号频谱以 ω_s 为周期的周期延拓,幅值乘 1/T;只有相邻频谱周期互不重叠,才能用理想低通滤波器把原信号频谱无失真地分离出来;而「不重叠」恰好等价于两倍条件。B 错:漏掉系数 2,ω_s 大于 ω_max 而不足两倍时相邻边带仍重叠,高频分量被折回低频段,发生频谱混叠。C 错:不等号方向写反,那对应欠采样条件,恰是混叠的成因。D 错:采样定理是数字控制与信号重建的理论根基,数量约束确实存在。 【知识串联】沿「采样、频谱周期延拓、混叠、定理条件、保持器重建」一条线记忆整节:零阶保持器把采样值保持一个采样周期,幅频随频率衰减、相频带来约半个采样周期的滞后,是离散系统稳定性变差的重要原因,与采样定理常配成组合概念题;采样周期过大则混叠与相位滞后双害并发。 【易错点】把「不低于两倍」记成「大于一倍」;忘记 ω_s=2π/T 的换算;忽略工程实践——理想滤波器不可实现且实际信号非严格带限,采样频率通常在两倍之上再留数倍余量,这一延伸常作简答加分点。 【变式思路】变式一:给信号频率上限与采样周期,判断是否满足定理;变式二:考混叠的后果(高频分量伪装成低频);变式三:零阶保持器的幅相特性判断。记牢「至少两倍」并会推频谱不重叠的来由,本章概念题即有抓手。

答案 B(z/(z-1))

解析 【考点定位】出自离散系统章「Z 变换与反变换」一节,考单位阶跃序列的 Z 变换;基本变换对是离散章的计算地基,与脉冲传递函数、差分方程求解共用一张变换对表,单选直接考变换对,计算题处处要用。 【逐项分析】B 正确:由定义 X(z)=Σx(k)z^(-k)(k 从 0 取到无穷),对 1(k) 代入得无穷等比级数 1+z^(-1)+z^(-2)+…,公比 z^(-1) 的模小于 1 时求和为 1/(1-z^(-1)),分子分母同乘 z 即 z/(z-1)。这一对在变换对表中的地位与连续系统的 1/s 相当——它对应离散域的累积作用,单位脉冲响应为 1(k) 的环节就是离散积分器。A 错:1 是单位脉冲序列 δ(k) 的变换,δ(0)=1、其余时刻为零,求和只留 k=0 一项;两者是表内相邻而性质不同的两对,恰为命题人惯用的互换干扰。C 错:把极点 z=1 错记为 z=-1,正项等比级数的极点只能由 z-1=0 给出,与 -1 无涉。D 错:1/z 即 z^(-1),是延迟一拍的因子(延迟算子),不是任何基本序列的完整变换。四个选项对应表内四个易混条目,记准即可秒判。 【知识串联】核心变换对成表连记:δ(k)↔1、1(k)↔z/(z-1)、kT↔Tz/(z-1)^2、a^k↔z/(z-a)、sin(ωkT)↔z·sin(ωT)/(z^2-2z·cos(ωT)+1)。指数对 a^k↔z/(z-a) 是总纲:取 a=1 即阶跃序列,由欧拉公式取复指数即得正弦对;收敛域连同极点位置一起刻画序列性质,极点在单位圆内对应衰减分量,落在单位圆上对应恒定或等幅分量。反变换的三种方法(部分分式法、长除法、留数法)与终值定理的适用条件(极点在单位圆内)配套出题,如 X(z)=z/(z-0.5) 的极点 0.5 在单位圆内,终值为零。 【易错点】1(k) 与 δ(k) 的变换互换;漏乘分子上的 z(误写成 1/(z-1));正弦对分母中 cos 项的符号记错;终值定理对单位圆外极点硬用。 【变式思路】变式一:给 a^k 或 kT 求变换;变式二:由 X(z) 判序列终值(先核极点位置再用定理);变式三:求延迟序列 f(k-n) 的变换(乘 z^(-n))。把变换对表背熟,离散章的计算题全靠这张表。

答案 B(正弦输入下输出基波与输入的复数比)

解析 【考点定位】出自非线性系统章「描述函数的定义与计算」一节,考描述函数的定义要件;描述函数法与相平面法并称非线性两大分析方法,定义题是本节一切计算题(求典型环节描述函数、判自振)的入口。 【逐项分析】B 正确:描述函数定义为 N(A)=Y_1∠φ_1/A——非线性环节输入 x(t)=A sin(ωt) 时,稳态输出经傅里叶展开取基波分量(幅值 Y_1、相角 φ_1),与输入幅值 A 之比的复数形式;其实质是谐波线性化:只保留基波、舍弃高次谐波,把非线性环节等效为一个随幅值 A 变化的复数增益。A 错:瞬时值之比是静态特性斜率或小偏差线性化的概念;描述函数是频域复数比且一般随 A 变化,「增益随幅值变」恰是非线性的标志。C 错:描述函数法忽略的正是高次谐波、只取基波,不是以高次谐波为对象。D 错:奇对称非线性在正弦输入下输出不含直流分量,直流分量与输入之比既无定义也无意义。 【知识串联】方法成立的前提配套记忆:系统须能归化为一个非线性环节与线性部分串联的典型结构;线性部分要有良好的低通滤波特性,把高次谐波充分衰减,只留基波的近似才可信;非线性特性为奇对称,保证输出无直流分量。负倒描述函数 -1/N(A) 曲线与线性部分幅相曲线的交点判自振,是定义的下游应用,常以作图题收口。 【易错点】把描述函数与小偏差线性化混为一谈(后者是切线斜率、只适于小信号,前者不受小偏差限制);忘记 N(A) 是 A 的函数(对单值非线性还与频率无关);漏掉「稳态输出取基波」的要件;误以为描述函数含高次谐波信息。 【变式思路】变式一:考理想继电的描述函数 4M/(πA)(实数、随 A 增大而减小);变式二:考「为什么要求线性部分低通滤波特性好」;变式三:单值非线性与含滞环非线性的 N(A) 实数、复数之别。定义三要件(正弦输入、取基波、复数比)记牢,定义与计算两头通吃。

答案 A(输出为离散固定值,符号随输入符号切换)

解析 【考点定位】出自非线性系统章「典型非线性环节(饱和、死区、间隙、继电)」一节,考理想继电特性的输出形态;典型非线性环节的辨析是非线性章的概念地基,四类特性各配一幅输入输出曲线记忆,是描述函数法的对象清单。 【逐项分析】A 正确:理想继电(开关型)特性的输出只取两个离散固定值 ±M(多值继电则为若干档),输入为正输出 +M、输入为负输出 -M,符号随输入符号瞬间切换,不存在中间值。B 错:线性比例是比例环节的形态;继电输出是开关量,大小与输入无关、只随符号切换。C 错:「超过阈值后输出保持恒定」是饱和特性的画像——线性区内成比例、超限后限幅,两者区段结构完全不同。D 错:「小输入时输出为零」是死区特性的画像;理想继电没有死区,再小的正输入也触发满幅输出。C、D 两项把饱和、死区的曲线错套到继电上,是四类特性互相干扰的典型设错方式;逐项回想各自的输入输出曲线图,即可对号排除。 【知识串联】四类典型特性成表对照:饱和——大信号下等效增益下降,超调受抑、稳态误差可能增大;死区——小偏差失去纠偏能力,产生额外稳态误差;间隙(回环)——输出滞后于输入,引入附加相角滞后,威胁稳定;继电——开关反复切换,易激起自持振荡,是描述函数法分析的典型对象。实际继电器常带死区或滞环,理想继电是其极限简化,双位控制即其应用形态;理想继电描述函数为 4M/(πA),与上一题互为呼应。 【易错点】继电与饱和混淆(继电无线性区,饱和有);继电与死区混淆(理想继电无死区);忽视滞环继电与理想继电之别——前者切换滞后、描述函数为复数,后者单值、描述函数为实数。 【变式思路】变式一:给四段输入输出曲线判特性类型;变式二:考死区、间隙对系统性能的影响;变式三:理想继电描述函数 4M/(πA) 的计算与负倒特性(沿负实轴伸展)。四类特性「一幅曲线加一句影响」配齐,概念题即成固定套路题。