应用统计考研

答案 B(极端值场合应选中位数)

解析 【考点定位】出自统计学「数据的概括性度量」知识点,对应贾俊平《统计学》集中趋势与离散程度两节,考查极端值场合平均指标的选用与离散系数的适用条件,是 432 各校卷数据描述部分的高频小题形态,也是数据素养的入门判据。 【逐项分析】先算均值:9 人合计 100 千元,均值=100/9≈11.11 千元,创始人一人的 50 千元把其余 8 人 6.25 千元的平均水平拉高近一倍,9 人中有 8 人达不到均值,均值在此已失去代表性;中位数为排序后第 5 个数 6 千元,位置居中、不受极端值拉动,B 正确。A 项错在「不受极端值影响」:均值恰因利用全部数据(含极端值)才被拉动,这正是偏态数据下它的弱点。C 项错:标准差衡量各数据对均值的偏离程度,只要数据不全相等就大于 0,与众数出现次数无关,本组数据显然有波动。D 项错:计量单位不同或数据水平不同时,标准差不可直接比较,应换用离散系数(标准差除以均值)再作比较。 【知识串联】本题把「平均指标三选一」与「离散比较」串在一起:均值利用全部信息但对极端值敏感,中位数稳健,众数适合分类数据;右偏分布中通常呈均值大于中位数、中位数大于众数的次序(与偏度考点相通);离散程度的比较链条为极差、四分位差、方差与标准差、离散系数,末者专治跨单位跨水平的比较,常单独命题。 【易错点】把「均值利用全部信息」绝对化为任何场合都优先;比较离散程度直接拿标准差相比而忽略单位与水平差异;把众数出现次数与标准差大小挂钩。 【变式思路】变式一:给右偏的收入数据问均值与中位数谁大;变式二:问两组单位不同的数据比较离散程度用什么指标;变式三:给含极端值的数据问应报告哪个集中趋势指标并说明理由。「见极端值先想中位数,跨组比离散用离散系数」两句覆盖绝大多数变式。

答案 B(左偏分布,偏度系数为负)

解析 【考点定位】出自统计学「数据的概括性度量」知识点中偏度与峰度一节,考查由直方图形态与均值-中位数关系判断偏态方向,并辨析偏度系数与峰度系数的定义,属数据描述部分的概念型基础题,432 各校卷普遍以小题考查。 【逐项分析】判断分两步:先看长尾方向,长尾拖向左侧(低数值方向)即左偏(负偏);再用均值与中位数的大小关系验证,均值被左侧长尾中的极端小值拉低,位于中位数左侧,两条信息互相印证,B 正确。A 项方向判反:右偏(正偏)分布应是长尾拖向右侧、均值大于中位数。C 项把两个系数定义对调:偏度系数度量分布的不对称方向与程度,峰度系数度量分布相对正态分布的尖峭或扁平程度,两者不能互换。D 项恰好说反:左偏分布通常呈均值小于中位数、中位数小于众数的大小次序,题干本身也给出了均值小于中位数的印证。 【知识串联】偏度考点的三种面孔:给直方图判方向、给「均值-中位数-众数」大小关系判方向、给系数数值判形态,三者可互相出题;峰度以正态分布为参照,峰度系数大于 0 为尖峰、小于 0 为扁平;「尾巴拖向哪边,均值就被拉向哪边」一句可同时锁定偏态方向与三个平均量的次序,是这一组知识的主线。 【易错点】把尾巴方向与偏的方向记反(尾巴向左是负偏);偏度与峰度的定义互换;由「均值小于中位数」倒推成右偏。 【变式思路】变式一:给右偏直方图问偏度系数符号;变式二:给「众数大于中位数大于均值」判偏态方向;变式三:给峰度系数数值问分布尖峭还是扁平。两步链条「先定尾向、再用均值中位数验证」保持不变。

答案 B(饼图用于展示构成)

解析 【考点定位】出自统计学「数据的图表展示」知识点(贾俊平《统计学》数据可视化一章),考查常用统计图与数据类型、展示目的的匹配,是数据描述部分的概念型基础题,432 卷与实务中的报表规范都常以此为切入点。 【逐项分析】A 错:直方图用于数值型数据的分组频数分布,横轴是连续的组距,矩形高度(或面积)表示频数;分类型数据各类别彼此离散,应使用条形图。B 正确:饼图以扇形面积表达各部分占整体的比例,是「看构成」的头号工具;类别过多时每个扇区过窄、比例难以辨认,教材一般建议类别数很少时使用,类别多时改用条形图。C 错:茎叶图把每个原始数据拆成茎与叶写在图上,既能看分布形状又保留原始信息,但数据量大时图形会失控,适合小批量数据。D 错:散点图展示两个数值型变量之间的取值关系,两个分类型变量的关联应通过列联表或复式条形图考察。 【知识串联】图表选择的地基是数据类型与展示目的两张对照表:分类数据配条形图或饼图,数值型数据配直方图、茎叶图、箱线图,两个数值变量配散点图;箱线图由五数概括构成,能同时呈现中位数、四分位距与离群点,常与偏度考点结合出题;散点图是相关与回归分析的入口,看到散点图就应联想到下一模块的相关系数。 【易错点】直方图与条形图互换使用(连续组距与离散类别之别);以为饼图类别越多越详尽;拿散点图去考察分类变量;把茎叶图用在大样本上。 【变式思路】变式一:给「展示 12 个月销量的构成」选图;变式二:给「考察顾客年龄与消费金额的关系」选图;变式三:问小批量数据既要保留原始数值又要看分布形态用哪种图。按数据类型与展示目的对号入座即可。

答案 B(高度正相关,但相关不等于因果)

解析 【考点定位】出自统计学「变量间的相关关系」描述性部分,考查散点图判读、相关系数的性质边界与「相关不等于因果」,处在数据描述与相关回归两章的衔接位置,是读数据素养类概念题的代表。 【逐项分析】散点自左下向右上倾斜,表明正线性相关;r=0.92 在常用口径下(绝对值不低于 0.8 称高度相关)属高度正相关,B 正确。A 错在末一步:相关系数只刻画线性关系的方向与密切程度,x 与 y 同向变动可能出自共同原因或混杂因素(如两者都随时间增长),不能据此断定因果。C 错:相关系数取值范围是 [-1,1],负相关时 r 为负,写成 [0,1] 丢掉了负半轴。D 错:相关系数对极端值相当敏感,一个远离群体的点可能把 r 拉高或拉低,计算前检查异常点是规范动作。 【知识串联】描述两变量关系的三件套:散点图看形态与方向,r 定量刻画线性密切程度,r 的平方在一元线性回归中即判定系数 R²(通往拟合优度考点);r=0 只说明不存在线性相关,不能排除其他形式的关联;时间序列里两个都增长的量常呈「伪相关」,识别混杂变量是读数据的基本功。另注意:相关系数只对线性关系负责,散点呈曲线形态时 r 可能接近 0,此时应先做变换或改用非线性口径再谈相关。 【易错点】由高相关直接跳到因果结论;r 取值范围误记为 [0,1];以为 r=0 等于没有任何关系;忽略极端值对 r 的影响。 【变式思路】变式一:给 r=-0.85 判断散点走向与相关程度;变式二:给「气温—冷饮销量—溺水人数」式链条问能否推出因果;变式三:给含一个异常点的散点图问 r 会被怎样拉动。抓住「方向看符号、程度看绝对值、因果另找证据」三句作答。

答案 A(8/15)

解析 【考点定位】出自概率论「随机事件与概率」知识点中的古典概型,考查用组合计数求不放回取球型概率,是概率论的头一批计算题,也是后续超几何分布的直接来源,432 概率论部分与数三共用此考点。 【逐项分析】古典概型两要素:样本点有限且等可能。从 6 个球中不放回取 2 个,取法总数 C(6,2)=15;「恰好 1 新」须从 4 个新球中取 1 个、2 个旧球中取 1 个,有利取法 C(4,1)×C(2,1)=8,概率 8/15,选 A。B 项 2/5 是把「恰好 1 新」误读成「2 个都是新球」,C(4,2)/C(6,2)=6/15=2/5;C 项 1/15 对应「2 个都是旧球」,C(2,2)/C(6,2)=1/15;D 项 14/15 是「至少 1 新」的口径,由对立事件 1-1/15 得到。四个选项分别对应题意的四种读法,审题精准即可逐一排除。 【知识串联】不放回取球的计数结构就是超几何分布:总数 N、目标类 M 个、取 n 个恰含 k 个目标类,概率为 C(M,k)×C(N-M,n-k)/C(N,n),本题即其具体取值;与二项分布的分野在「不放回」(各次抽取不独立)对「放回」(独立重复);「恰好」与「至少」的对立事件转化技巧贯穿整章。排列组合的桥梁在「选谁」与「按什么顺序选」的区分:组合只问选谁,排列还要问顺序,取球、分组、排队三类题的计数方式由此分岔。 【易错点】用排列 A(6,2) 计数(取球不看次序,组合才对);「恰好 1 新」与「至少 1 新」混淆;分类计数时漏乘旧球的选法数。 【变式思路】变式一:改取 3 个球求「恰好 2 新」;变式二:改成放回抽取,答案换为二项口径 2×(4/6)×(2/6)=4/9;变式三:识别超几何结构并写出通项。抓住「不放回用组合、分类相乘」两句即可通解。书写时把「总数-有利数-比值」三行算式列规范,分子分母口径一致(同用组合或同用排列)比算得快更重要,错答常出在分子用组合、分母用排列的口径错位上。

答案 答题要点:①全概率公式 P(次品)=0.5×0.01+0.3×0.02+0.2×0.04=0.005+0.006+0.008=0.019;②贝叶斯公式 P(丙|次品)=0.2×0.04/0.019=0.008/0.019=8/19≈0.421。

解析 【考点定位】出自概率论「全概率公式与贝叶斯公式」知识点,以三台机器的次品率构造「由因推果、再由果溯因」的完整两问,是全概率类计算题的教科书形态,432 概率论部分与数三概率统计部分都反复出现,工业质检与医学筛查的统计模型即源于此。 【得分点结构】记 A、B、C 分别表示「零件来自机器甲、乙、丙」,D 表示「取到次品」,则 P(A)=0.5、P(B)=0.3、P(C)=0.2,P(D|A)=0.01、P(D|B)=0.02、P(D|C)=0.04,三事件构成完备事件组。头一问全概率:P(D)=0.5×0.01+0.3×0.02+0.2×0.04=0.005+0.006+0.008=0.019。第二问贝叶斯:P(C|D)=P(C)×P(D|C)/P(D)=0.008/0.019=8/19≈0.42。书写采分点:先列完备组与条件概率、再写公式、末了代数值;顺手可验 P(A|D)+P(B|D)+P(C|D)=(5+6+8)/19=1,三种来源的后验概率封闭。 【知识串联】全概率公式把复杂事件按原因拆分加权平均,贝叶斯公式反过来在已知结果的条件下重估各原因的概率,「先验-证据-后验」的思想正是贝叶斯统计的源头;完备事件组(互斥且并集为全空间)是两个公式的前提,不满足时硬套会翻车;产量比作权重、次品率作条件概率的数值结构,是质检与诊断类题目的通用骨架。贝叶斯思想还可序列更新:拿到新证据后,上一轮的后验可作为这一轮的先验,朴素贝叶斯分类器与垃圾邮件过滤都建立在这条更新链上;备考层面,完备组的识别是全流程里需要动脑判断的环节,其余数值代入都是机械劳动。 【易错点】把次品率当权重直接相加(权重应是产量比);只算分子 0.008 忘除全概率 0.019;贝叶斯方向写反(求成 P(D|C));完备组不检验。 【变式思路】变式一:改问 P(B|D);变式二:改成两台机器再算一遍;变式三:换成医学筛查场景(患病率、灵敏度、特异度)。骨架「完备组-全概率-贝叶斯」三行不变,数值代入即可。

答案 A(0.8185)

解析 【考点定位】出自概率论「常见分布」知识点中的正态分布,考查标准化换算与一般正态总体下区间概率的计算,是正态分布的头号基本功,432 概率论部分、数三概率统计以及后续统计推断的临界值查表,全都踩在这块地基上。 【逐项分析】正态概率计算统一走标准化:Z=(X-μ)/σ 服从 N(0,1)。本题 μ=170、σ=5,区间端点 165 与 180 分别标准化为 (165-170)/5=-1 与 (180-170)/5=+2,于是 P(165<X<180)=Φ(2)-Φ(-1)=Φ(2)-[1-Φ(1)]=0.9772-0.1587=0.8185,选 A。B 项 0.8413 只用了一个 Φ(1),对应单侧概率 P(X<175),区间端点代错;C 项 0.1359 等于 Φ(2)-Φ(1),对应区间 (175,180),忘了下端点标准化后是 -1;D 项 0.9545 是经验法则里正负 2 倍标准差的概率,本题区间并不对称,直接套用即错。 【知识串联】标准化是正态一切计算的总开关;Φ 的负值翻转 Φ(-x)=1-Φ(x) 全靠它;经验法则给出正负 1、2、3 倍标准差内概率约 68%、95%、99.7% 的三档近似,可与查表结果互检;往后的 z 检验统计量、置信区间的 z 临界值,都是同一坐标系的延伸,这一题练的就是那把尺子。正态分布还是整个推断统计的参照系:中心极限定理说明无论总体何种分布,大样本的均值都近似正态;卡方、t、F 三大抽样分布也都由标准正态构造而来;把标准化练到条件反射,后面的区间估计与假设检验才不会在入口处卡壳。 【易错点】忘标准化直接拿原值查表;把 N(170,5²) 的 5 当方差再开方(记号里第二参数的平方才是方差);Φ(-1) 忘翻转;不对称区间硬套正负 2σ 法则。 【变式思路】变式一:求 P(X>180);变式二:给概率反查分位数(如求 90% 分位的身高);变式三:改样本均值口径求 P(X̄>172),须除以 σ/√n。口诀「先标准化、再查表、负值翻转」三步走。查表时同时记牢几个常用分位数(1.645、1.96、2.33、2.58),考场上先估后查、互相印证,速度与准确率兼得。

答案 答题要点:①X~B(3,0.8),P(X=k)=C(3,k)×0.8^k×0.2^(3-k),k=0,1,2,3,四个概率依次为 0.008、0.096、0.384、0.512;②E(X)=np=2.4,D(X)=np(1-p)=3×0.8×0.2=0.48;③P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.008=0.992;④切比雪夫上界 P(|X-2.4|≥1)≤D(X)/1²=0.48;精确值:X 只取整数,|X-2.4|≥1 等价于 X≤1.4 即 X=0 或 1,概率 0.008+0.096=0.104。上界 0.48 远大于 0.104,因为切比雪夫不等式只依赖期望与方差、对分布形态不作任何假设,给出的是保守的保证性界,不是精确计算。

解析 【考点定位】出自概率论「常见分布与数字特征」知识点,以二项分布为载体串起分布律、期望方差、对立事件求概率与切比雪夫不等式四件事,是概率论基础计算题的标准骨架,432 概率论部分与数三通用,常作为解答题的头一小问组合出现。 【得分点结构】(1)识别与分布律:独立重复射击 3 次、每次命中概率 0.8、计数命中次数,即 X~B(3,0.8);分布律 P(X=k)=C(3,k)×0.8^k×0.2^(3-k),k=0,1,2,3,逐项算出 0.008、0.096、0.384、0.512,四值之和为 1 作自检。(2)数字特征:直接套二项分布结论 E(X)=np=2.4,D(X)=np(1-p)=3×0.8×0.2=0.48。(3)「不少于 1 次」走对立事件:P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.2³=1-0.008=0.992。(4)切比雪夫不等式:P(|X-E(X)|≥1)≤D(X)/ε²=0.48;精确值须注意 X 只取整数,|X-2.4|≥1 等价于 X≤1.4,即 X=0 或 X=1,概率 0.008+0.096=0.104。两相对照,上界约为真值的 4.6 倍,分清「界」与「值」正是本题设问的采分点。 【知识串联】二项分布识别口诀「独立重复+计次数」;数字特征上游连期望方差的定义与线性性质,下游连切比雪夫不等式与大数定律(它正是弱大数定律的理论工具);切比雪夫不等式只依赖期望与方差、对分布形态不作假设,给的是保守保证,用于理论论证而非数值计算。它的价值在证明而非计算:弱大数定律(样本均值依概率收敛于总体均值)的证明只动用期望、方差与该不等式三样工具;做题时要分清题目要「保证」还是「数值」,口径答错是这类题丢分的主因。 【易错点】P(X≥1) 误算为 1-0.8³;|X-E(X)|≥1 忘按整数取值化简;分布律漏写 k 的取值范围;把上界 0.48 当成精确概率作答。 【变式思路】变式一:改求 P(X≥2);变式二:试验次数多、概率小的场合改用泊松近似;变式三:把 ε 改为 2 重算上界并与精确值比较。链条「认分布-写律-套特征-算概率」不变。每一小问独立得分,按序作答不跳步。

答案 D(10)

解析 【考点定位】出自概率论「随机变量的数字特征」知识点,考方差对线性组合的展开运算,为 2022 年 303 数学(三)单选第 8 题;方差性质与常见分布的方差公式是数三与 432 概率论部分共同的高频小题点,本题是该年在卷面上的直接呈现。 【逐项分析】先写展开式:D(X-3Y+1)=D(X)+9D(Y)-6Cov(X,Y),常数加项不改变方差,系数按平方加权。逐项代入:X~N(0,4) 的第二参数是方差,故 D(X)=4;Y~B(3,1/3) 的方差为 np(1-p)=3×(1/3)×(2/3)=2/3;X 与 Y 不相关,交叉项 Cov(X,Y)=0 整体消失。于是 D(X-3Y+1)=4+9×(2/3)=4+6=10,选 D。三个干扰项各对应一处典型失误:A 项 2 是把 D(Y) 误算成 p(1-p) 漏掉 n 后再乘系数的结果;B 项 4 只算了 D(X);C 项 6 只算了 9D(Y)。选完按「系数平方乘方差、相关性定交叉项」回看一遍即可定位失误点。 【知识串联】线性组合法则 D(aX±bY)=a²D(X)+b²D(Y)±2abCov(X,Y),协方差为零(不相关)时方差才可直接相加;上游连正态记号 N(μ,σ²) 的约定(第二参数是方差而非标准差),下游连二维随机变量与相关系数;「不相关」与「独立」的辨析在同一命题族里反复出现,2023 年数三填空第 16 题继续考数字特征组装,可见此点的延续性。两条边界要咬死:不相关只保证协方差为零,推不出独立,而独立必能推出不相关,方向不能倒置;方差不满足线性叠加而期望满足,两类运算对照出题是命题人偏爱的手法。 【易错点】正态第二参数当标准差漏平方;-3Y 的系数漏平方写成 -3D(Y);以为「不相关」就不能作方差展开(恰恰相反,不相关正是交叉项归零的条件)。 【变式思路】变式一:改求 D(2X+Y-3);变式二:改求 E(X-3Y+1)(期望是线性的、系数不平方,与方差对照出题);变式三:给协方差不为零的情形补上交叉项再算。先写全展开式再逐项代入,展开式本身就是检查清单。

答案 B(-0.36)

解析 【考点定位】出自概率论「二维离散随机变量」知识点,为 2022 年 303 数学(三)单选第 10 题,考用归一性与事件独立性条件反解联合分布律中的未知参数,再求期望与协方差;链条长、入口隐蔽,是当年卷内概率小题的难度高点,432 概率论部分同构题常见。 【得分点结构】三层链条。头一层补全分布律:由归一性,四个 0.1 与 a、b 之和为 1,得 a+b=0.6;事件 {max(X,Y)=2} 即 Y=2(X 至多取 1),概率 b+0.1;事件 {min(X,Y)=1} 即 (X,Y) 取 (1,1) 或 (1,2),概率 0.2;两事件交集只有 (1,2),概率 0.1。独立性条件 (b+0.1)×0.2=0.1 给出 b=0.4,进而 a=0.2,回验概率和恰为 1。第二层数字特征:边缘 P(X=-1)=0.6、P(X=1)=0.4,P(Y=0)=0.3、P(Y=1)=0.2、P(Y=2)=0.5;E(X)=-0.2,E(Y)=1.2;E(XY) 按非零格子累加:(-1)×1×0.1+(-1)×2×0.4+1×1×0.1+1×2×0.1=-0.6。末层求协方差:Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.6-(-0.2)×1.2=-0.36,选 B。干扰项溯源:A 项 -0.6 是 E(XY) 本身,漏减均值乘积;C 项 0 是把两个事件独立误当成 X 与 Y 独立(若变量独立协方差才为零,本题恰恰不是);D 项 0.48 是未正确解出 a、b 时按错误边缘分布计算的结果。 【知识串联】二维离散题固定三步:补全格子、算边缘、按定义算;「事件独立反解参数」的手法在条件概率类题中同样出现;协方差定义式把全题考点串成一线,上游是期望的线性性,下游是相关系数(与数三 2023 年填空第 16 题呼应)。从书写看,这类题的作答顺序本身就是得分结构:参数方程一行、边缘分布一行、期望与协方差各一行,每行可独立得分,漏一行扣一段;把「概率和为 1」与独立等式两个方程列全,参数必可解。 【易错点】把事件独立等同于随机变量独立(致命);直接把 E(XY) 当协方差;解出参数后不做概率和验算;表格行列读错位。 【变式思路】变式一:改给相关系数反求某格子概率;变式二:改问 P(max(X,Y)<2) 或 P(min(X,Y)=0);变式三:变量独立版直接判协方差为零。每步收尾用「概率和为 1」回验是保命动作。

答案 C(t 统计量与独立性结论)

解析 【考点定位】出自数理统计「抽样分布」知识点,考查正态总体下样本均值、样本方差及由它们构造的统计量各服从什么分布,卡方、t、F 三大分布的识别与自由度,是统计推断全章的地基,432 卷与数三概率统计部分共同的核心考点。 【逐项分析】A 错:样本均值的方差是 σ²/n 而非 σ²,均值口径不变但精度随样本量提升,正确表述为 X̄ 服从 N(μ,σ²/n)。B 错:(n-1)S²/σ² 的自由度是 n-1 而非 n,损失的一个自由度被「用 X̄ 代替 μ」消耗掉。C 正确:σ 未知时 (X̄-μ)/(S/√n) 正是 t 统计量,自由度 n-1;且正态总体的经典结论保证 X̄ 与 S² 相互独立,这一独立性是构造 t 统计量的前提。D 错:精确的 t 分布要求正态总体;任意总体的小样本不成立,大样本时依中心极限定理可近似按标准正态处理。故选 C。 【知识串联】三大分布的构造链:标准正态的平方和为卡方(独立时自由度相加);标准正态除以独立的卡方除自由度再开方得 t;两个独立卡方各除以自身自由度相除得 F。正态总体四件套应整块记忆:X̄ 服从 N(μ,σ²/n)、(n-1)S²/σ² 服从卡方(n-1)、两者独立、t=(X̄-μ)/(S/√n) 服从 t(n-1);下游的 z 区间、t 区间、卡方检验、F 检验全部由四件套组装,2023 年数三第 9 题考两样本 F 统计量,用的也是同一构造。 【易错点】自由度 n 与 n-1 之差(何时少一);X̄ 的方差漏除 n;把 X̄ 与 S² 的独立性当成任意总体都成立(正态总体限定);t 与 F 的构造互相混用。 【变式思路】变式一:给统计量判分布(平方和型想卡方、比值型想 t 或 F);变式二:σ 已知改问 z 统计量;变式三:两样本场合的 F 统计量与自由度。认「构造形态+自由度」两步走。另可反向命题:给分布形态反推构造,如问「构造 t 统计量需要哪两个独立部件」,答案即标准正态变量与卡方变量除以自由度再开方。

答案 答题要点:①σ 未知、n=25 小样本,x̄±t×s/√n=496±2.064×(10/√25)=496±4.13,即约 (491.87,500.13) 克;②σ 未知且以 s 替代时,(x̄-μ)/(s/√n) 服从自由度 n-1=24 的 t 分布;当 σ 已知,或样本量足够大(通常 n≥30)时可用 z 近似;③抽样标准误 s/√n=10/5=2 克,区间半宽与 1/√n 成正比,宽度减半需样本量增大为原来的 4 倍(约 100 袋)。

解析 【考点定位】出自数理统计「参数估计」知识点中的区间估计,考查 σ 未知小样本场合总体均值的 t 区间、抽样标准误与「区间宽度-样本量」的平方反比关系,是 432 各校卷计算大题的常客,数三概率统计部分的区间估计口径与之相通。 【得分点结构】(1)判据先行:总体方差 σ 未知、n=25 为小样本,以 s 替代 σ 后的统计量 (x̄-μ)/(s/√n) 服从自由度 n-1=24 的 t 分布,95% 置信区间为 x̄±2.064×s/√n=496±2.064×2=496±4.13,即约 (491.87,500.13) 克;该区间包含 500 克,与 0.05 水平下双侧检验不拒绝 μ=500 的结论一致,区间估计与假设检验在此互为印证。(2)z 与 t 的分野:z=1.96 的前提是 σ 已知(统计量服从标准正态),或样本量足够大(通常 n 不小于 30)时 s 对 σ 的替代误差可以忽略;本题两条都不满足,直接套 1.96 会把区间算窄、低估不确定性。(3)抽样标准误为 s/√n=10/5=2 克;置信区间半宽与 1/√n 成正比,要宽度减半,样本量须增大为原来的 4 倍,即约 100 袋。 【知识串联】「σ 未知小样本用 t」是区间估计的入口判据;t 分布比标准正态厚尾、自由度越小越厚,随 n 增大趋于标准正态;区间宽度 2×临界值×标准误与样本量的平方反比关系,正是样本量确定公式的来源;区间含不含检验值,与假设检验的结论同源,两种读法共用一套抽样分布。标准误与标准差的区分也要咬死:标准差描述总体内部的个体差异,标准误描述样本统计量的抽样波动,除以根号 n 正是两者之间的换算桥。 【易错点】小样本硬套 1.96;标准误写成 s 而非 s/√n;自由度误用 n;「宽度减半」答成样本量翻倍(实为 4 倍)。 【变式思路】变式一:改 σ 已知走 z 区间;变式二:改 99% 置信水平重算并解释区间为何变宽;变式三:由给定半宽反求样本量。动笔前三问:σ 知否、n 够否、查 z 还是 t。

答案 答题要点:①p̂=240/400=0.6,标准误 √(p̂(1-p̂)/n)=√(0.6×0.4/400)≈0.0245,区间 p̂±1.96×0.0245=0.6±0.048,即约 (0.552,0.648),宽度约 0.096;②比例是 0-1 总体的样本均值,np̂=240 与 n(1-p̂)=160 均远超常用门槛(如不低于 5),二项分布可用正态近似;③误差限减半,n=1.96²×0.24/0.024²≈1600.7,向上取整约 1601 人(粗算 4×400=1600,公式精确值向上进位为 1601)。

解析 【考点定位】出自数理统计「参数估计」知识点中比例的区间估计,考查大样本场合 p 的置信区间、正态近似的适用条件与误差限-样本量换算,是民意调查与市场研究类实务题的统计内核,432 卷常见,数三概率统计部分同源。 【得分点结构】(1)点估计与标准误:p̂=240/400=0.6;标准误 √(p̂(1-p̂)/n)=√(0.24/400)=√0.0006≈0.0245;95% 置信区间 p̂±1.96×0.0245=0.6±0.048,即约 (0.552,0.648),区间宽度约 0.096(0.048 是半宽,宽度是半宽的两倍,两者不可混写)。(2)正态近似的依据:比例本质是 0-1 总体的样本均值,大样本时 np̂=240 与 n(1-p̂)=160 都远超常用门槛(不低于 5 或 10),二项分布可用正态近似,这是套用 z 公式的合法性来源,作答时必须写明而不只给数字。(3)误差限压缩到 0.024:n=1.96²×0.24/0.024²=3.8416×0.24/0.000576≈1600.7,向上取整约 1601 人;「样本量翻两番即 1600」的粗算与公式值 1600.7 的差异正落在取整上,规范作答应按公式向上进位。 【知识串联】比例区间与均值区间共用「点估计±临界值×标准误」的骨架,区别只在标准误的表达;区间宽度与 1/√n 成正比在本题再次兑现,与均值的 t 区间、样本量确定公式同一条根;上游连二项分布的正态近似,下游连比例的假设检验与 p 值口径。顺带辨析:总体比例未知时,方差估计中的 p 用 p̂ 代入,大样本下影响可忽略;实务报告里「误差正负 3 个百分点」的表述,对应的正是本题的误差限口径。 【易错点】标准误里忘除 n;把半宽 0.048 写成区间宽度;近似条件只验 np̂ 不验 n(1-p̂);样本量向下舍入取整。 【变式思路】变式一:90% 置信水平重算(z=1.645,区间变窄);变式二:小样本或 p̂ 接近 0、1 时说明正态近似失效及对策;变式三:无先验信息时保守取 0.5 重算样本量。框架「p̂-标准误-临界值-宽度」四步走。

答案 答题要点:①n=z²p̂(1-p̂)/E²=1.96²×0.6×0.4/0.03²≈1024.4,向上取整为 1025 户;②p(1-p) 在 p=0.5 处取得区间上的大值 0.25,取其计算可保证任何真实 p 都满足精度:n=1.96²×0.25/0.0009≈1067.1,向上取整为 1068 户;③E=0.06 时 n=1.96²×0.25/0.0036≈266.8,取 267 户,样本量与允许误差的平方成反比,误差放宽一倍,所需样本量约为原来的四分之一。

解析 【考点定位】出自数理统计「抽样与参数估计」知识点中的样本量确定,考查比例估计场合 n=z²p(1-p)/E² 的代入、无先验信息时的保守化处理与误差-样本量的数量关系,是 432 各校卷特色题型,数三不涉及此点,恰好构成两科内容的分工。 【得分点结构】(1)试调查比例代入:n=1.96²×0.6×0.4/0.03²=3.8416×0.24/0.0009≈1024.4,样本量必须取整数且只能向上进位——若向下舍去,实际误差将超过 0.03 与题设矛盾——故取 1025 户。(2)无先验信息时,p(1-p) 关于 p=0.5 对称且在该处取得整个区间上的大值 0.25,以其计算得到的 n 对任何真实 p 都只多不少:n=1.96²×0.25/0.0009≈1067.1,取 1068 户,这是无先验信息时的保守策略,理由必须写出而不能只给数字。(3)E=0.06:n=1.96²×0.25/0.0036≈266.8,取 267 户;对照(2)的 1068 户,误差放大一倍、样本量约为原来的四分之一,即 n 与 E² 成反比。 【知识串联】样本量公式由「临界值×标准误不超过误差限」反解而来,均值场合 n=(zσ/E)² 与比例场合同构;「无先验取 0.5 保守化」与区间宽度分析(上一题)共用 1/√n 律;试调查-正式调查的两步设计正是(1)(2)两问的现实原型。样本量设计还牵涉费用与精度的权衡:精度要求越高、置信水平越高,所需样本量越大,调查成本随之上升;实际方案要在预算约束下选误差限与置信水平的组合,这是统计咨询场景的常见讨论。 【易错点】四舍五入而非向上进位;漏乘 z² 或 z 忘平方;以为 p 未知便无从下手;只给数字不写保守化理由。 【变式思路】变式一:均值场合 σ 已知求 n;变式二:置信水平升到 99% 重算并解释 n 为何变大;变式三:问误差减半样本量增几倍。公式一条、变量两源(p̂ 或 0.5)、结尾向上取整三句话记牢。数值算完,再用「误差平方反比」关系复核量级。

答案 D(样本量不变时两类错误概率此消彼长)

解析 【考点定位】出自数理统计「假设检验」知识点中的两类错误,考查「原假设真假×拒绝与否」四格表的定义对应与 α、β 的关系,是检验章的概念型基础题,432 各校卷普遍以选择、判断形态出现,数三概念选择题也涉及。 【逐项分析】先立四格框架:H₀ 真而拒绝为第一类错误(弃真),H₀ 真而不拒绝为正确决策,H₀ 假而拒绝为正确决策,H₀ 假而不拒绝为第二类错误(取伪)。逐项核对:A 项定义错位,「H₀ 为假时拒绝 H₀」是正确决策而非错误;第一类错误是「H₀ 为真时拒绝 H₀」,其概率才是显著性水平 α。B 项同样错位,「H₀ 为真时没有拒绝 H₀」是正确决策;第二类错误是「H₀ 为假时没有拒绝 H₀」,概率记为 β。C 项不成立:α 在 H₀ 为真的前提下定义,β 在 H₀ 为假的前提下定义,两个不同条件下的概率相加没有意义,不存在 α+β=1 的恒等式。D 正确:样本量固定时缩小拒绝域降低 α 必然推高 β,两者此消彼长;增大样本量使信息增多,两个错误概率才能同时下降,但用样本推断总体总有出错可能,概率只能压低不能归零。 【知识串联】α 是预先设定的犯弃真错误概率的上限,检验的「显著性」由此得名;β 与 1-β(检验功效)配对出现,功效分析与样本量设计都建立在这对概念上;「不拒绝 H₀」的规范表述(而非「接受 H₀」)也源于此框架,与 p 值题的结论措辞互为表里。 【易错点】两类错误定义与四格对不上号;误信 α+β=1;忽略样本量在调和两类错误中的关键作用;把「不拒绝」说成「证明 H₀ 为真」。 【变式思路】变式一:给「误诊/漏诊」情景判两类错误;变式二:问降低 α 对 β 的影响;变式三:问功效 1-β 的含义与提高途径。画出四格表再作答,一图防三坑。

答案 B(p<α,拒绝 H₀)

解析 【考点定位】出自数理统计「假设检验」知识点中 p 值的含义与决策规则,考查 p 值定义的准确复述、与显著性水平的关系及更换 α 后结论的变化,是检验章概念题的保留项目;「p 值不是原假设为真的概率」几乎是固定设错位。 【逐项分析】p 值的定义:在 H₀ 成立的前提下,出现当前样本结果或更极端结果的概率——它是样本数据相对 H₀ 的极端程度指标,不是假设本身的概率。B 项准确复述定义并给出决策:0.032<0.05,一次检验中出现如此极端的结果在 H₀ 下不易发生,应拒绝 H₀,即有显著证据认为平均净含量与 500 毫升存在差异,B 正确。A 错:经典检验框架不对假设本身赋概率,p 值不是「H₀ 为真」的概率。C 错:同理,1-p 也不能读作「H₁ 为真」的概率,检验结论只能说证据是否显著,不能说假设为真的把握有多大。D 错:α 改为 0.01 后,0.032>0.01,p 值不够极端,不能拒绝 H₀;同一批数据更换 α 可能翻转结论,说明「统计显著」依赖事先约定的门槛,α 要在检验前确定,不能事后凑。 【知识串联】p 值与 α 的分工:p 是数据的极端度,α 是事先立的门槛,比门槛低才拒绝;p 值越小数据与 H₀ 的矛盾越尖锐,但永远给不出假设为真的概率;双侧检验的「更极端」指两侧对称区域,单侧检验只取一侧,同一统计量的 p 值因检验方向而异;报告 p 值而非只报「显著/不显著」是论文与报告的规范做法。 【易错点】把 p 读成 H₀ 为真的概率;把 1-p 读成 H₁ 为真的概率;p 与 α 的大小关系说反;以为结论不随 α 变化。 【变式思路】变式一:给 p=0.06 判断 0.05 水平下的决策;变式二:同一数据单双侧 p 值口径对比;变式三:给 t 统计量与自由度查表定 p 值范围。记死「极端程度比门槛」一句。

答案 答题要点:①H₀:μ=4,H₁:μ≠4(双侧);②t=(x̄-μ₀)/(s/√n)=(3.2-4)/(1.6/4)=-2.0,|t|=2.0<2.131,不拒绝 H₀;③在 0.05 水平下样本未提供足够证据否定「平均减重 4 kg」的口径(不拒绝不等于证明达标);若改单侧 H₁:μ<4,临界值 -1.753,-2.0<-1.753 落入拒绝域,拒绝 H₀,有显著证据认为平均减重不足 4 kg。

解析 【考点定位】出自数理统计「假设检验」知识点中的单样本 t 检验,考查假设建立、统计量计算、双侧与单侧决策对比与结论规范表述,是检验章计算题的标准形态;本题特意把统计量取在临界值附近的边界位置,专门检验「不拒绝不等于接受」的理解。 【得分点结构】(1)建立假设:关心「平均减重是否为 4 kg」,取双侧口径 H₀:μ=4,H₁:μ≠4。(2)统计量与决策:σ 未知、n=16 小样本、减重量近似正态,走 t 检验,t=(x̄-μ₀)/(s/√n)=(3.2-4)/(1.6/√16)=-0.8/0.4=-2.0;|t|=2.0 小于 2.131,未落入拒绝域,不拒绝 H₀。(3)规范表述:在 0.05 水平下,样本未提供足够证据否定「平均减重 4 kg」的口径;注意不拒绝不等于证明达标,只能说明证据不足。若关心「是否低于 4 kg」,改为单侧 H₀:μ=4 对 H₁:μ<4,拒绝域为 t<-1.753,-2.0<-1.753 落入拒绝域,拒绝 H₀,有显著证据认为平均减重不足 4 kg——同一数据双侧不显著而单侧显著,原因是单侧把全部 α 集中到一侧,拒绝域更宽。 【知识串联】t 检验的入口判据与区间估计共享(σ 未知小样本用 t);单双侧之别对应双侧区间与单侧界限;结论表述用「有/无显著证据」是采分措辞;单双侧的选择应由研究设计在看到数据前定下,看完数据再挑方向有「数据窥探」之嫌,这是本题第三问的教学要点。 【易错点】单双侧假设写错方向;统计量分母写成 s 而非 s/√n;把「不拒绝」表述成「H₀ 成立」或「平均减重就是 4」;单侧临界值用 2.131 或自由度取 16。再有,查单侧还是双侧临界值要与假设口径一致,题干同时给出两个临界值时尤其要认准用途。 【变式思路】变式一:改问「是否超过 3 kg」的单侧检验;变式二:σ 已知换 z 检验;变式三:同一批人训练前后体重的配对场合识别配对 t。链条「设假设-算统计量-比临界-规范表述」四步走。

答案 答题要点:①H₀:花色比例为 2:1:1(H₁:比例与 2:1:1 不符);期望频数 100、50、50,χ²=(112-100)²/100+(38-50)²/50+(50-50)²/50=1.44+2.88+0=4.32<5.991,不拒绝 H₀,观测与理论比例相容;②各类期望频数不宜过小(常用门槛不低于 5),不满足时应合并相邻类别后重算,自由度按合并后的类数减 1(再扣除被估参数个数)。

解析 【考点定位】出自数理统计「假设检验」知识点中的卡方拟合优度检验,考查理论比例到期望频数的换算、卡方统计量与自由度、小期望频数的处理,是分类数据检验的代表题型;432 卷常以遗传学或市场偏好情景包装此考点,数三不考该点,属两科内容的又一分工。 【得分点结构】(1)假设与计算:H₀ 为「花色比例 2:1:1」,H₁ 为「比例与之不符」;期望频数=总数×理论比例,依次为 200×0.5=100、200×0.25=50、200×0.25=50;卡方统计量 χ²=Σ(观测-期望)²/期望=(112-100)²/100+(38-50)²/50+(50-50)²/50=144/100+144/50+0=1.44+2.88=4.32;未估计任何参数,自由度为类数减 1 即 2;4.32<5.991 未落入拒绝域,不拒绝 H₀,样本比例与理论比例 2:1:1 相容。(2)期望频数要求:卡方近似要求各类期望频数不宜过小(常用门槛不低于 5),某类过小时应与相邻类别合并后再算,自由度按合并后的类数减一,再扣除检验中估计的参数个数(本题未估参数,只减一)。 【知识串联】拟合优度检验回答「样本是否来自某一设定的分布或比例」,与列联表独立性检验(自由度 (r-1)(c-1))同属卡方家族;期望频数=总数×理论比例这一行换算是全题引擎;上游连多项分布与卡方分布的构造,下游连分布拟合检验(如检验数据是否来自正态总体)。 【易错点】期望频数误用样本比例而非理论比例计算;自由度写成类数 k 或多减一个(本题未估参数);卡方值算对却把不等号方向读反;小期望频数不合并硬算。 【变式思路】变式一:理论比例改双因子遗传的 9:3:3:1;变式二:骰子均匀性检验(六类);变式三:列联表独立性检验并比对自由度口径。三步「期望-卡方-查表」不变。草稿上把期望频数、卡方值、自由度列成三行,核对无误再下结论。

答案 B(R²=r²,一元场合)

解析 【考点定位】出自统计学「相关与回归」知识点,考查相关系数与判定系数的关系、符号对应与拟合优度的读法,把回归计算与相关概念缝合起来;一元回归里「一个平方、两种读法」是 432 概念题的常见切口。 【逐项分析】A 错:一元线性回归中 r 与斜率 β̂₁ 恒同号,散点右上倾斜则 r 为正、斜率为正,说相反不成立。B 正确:R²=SSR/SST 度量回归直线对观测数据的拟合程度;一元场合恒有 R²=r²(平方抹去符号),而对相关系数的显著性检验与对整个方程的 F 检验考察的是同一个线性关系,结论一致。C 错:R² 越接近 1 拟合越好,接近 0 说明线性解释力弱,方向说反。D 错:r=0 只说明不存在线性相关,仍可能存在严格的非线性关系(如对称的二次曲线型散点),推不出「没有任何关系」。 【知识串联】r、R²、β̂₁ 三者的关系网:r 给方向与线性密切度,R² 给拟合解释比例,β̂₁ 给 x 每变动一单位 y 的平均变化;R²=r² 只在一元回归成立,多元回归须看调整后 R²;相关系数的显著性检验统计量 t=r√(n-2)/√(1-r²),自由度 n-2,与斜率的 t 检验等价,也等价于方程的 F 检验,三者在「线性关系是否存在」上同进退。拟合优度与显著性检验的分工也值得记:R² 是程度量,检验是是非判断,小样本时高 R² 也可能检验不过,显著也不等于拟合必然高,两者互补而非替代。 【易错点】r 与 β̂₁ 的符号关系记反;r=0 等同于「无任何关系」;把 R²=r² 搬到多元场合;R² 接近 0 被读成「数据没有规律」。 【变式思路】变式一:给 R²=0.64 反求 r 并判方向;变式二:给 r=0.5 问变差被解释的比例(是 0.25 而非 0.5,读法陷阱);变式三:给非线性散点问 r 是否为 0。抓住「平方去符号、一元才等价」两句。

答案 答题要点:①Σx=15、Σy=20、Σx²=55、Σy²=90、Σxy=69;Lxx=10、Lxy=9、Lyy=10;β̂₁=Lxy/Lxx=0.9,β̂₀=ȳ-β̂₁x̄=4-0.9×3=1.3,回归方程 ŷ=1.3+0.9x;②SSR=β̂₁×Lxy=8.1,SSE=Lyy-SSR=1.9,R²=SSR/SST=8.1/10=0.81,销售额变差中约 81% 由广告费的线性关系解释;③广告费每增加 1 万元,销售额平均增加 0.9 万元;x=6 时 ŷ=1.3+0.9×6=6.7 万元(6 已超出样本范围 1~5,属外推,慎用);④F=(SSR/1)/(SSE/(n-2))=8.1/(1.9/3)≈12.79>10.13,拒绝 H₀:β₁=0,回归方程在 0.05 水平下显著。

解析 【考点定位】出自统计学「一元线性回归」知识点,考查最小二乘估计、判定系数、回归系数解读、点预测与 F 检验的全链条,是回归章计算大题的标准四段式,432 各校卷反复以此结构命题,数三回归部分口径相通,常作解答题压轴小问。 【得分点结构】(1)五个基本和:Σx=15、Σy=20、Σx²=55、Σy²=90、Σxy=69,得 x̄=3、ȳ=4;离差平方和 Lxx=55-15²/5=10,离差乘积和 Lxy=69-15×20/5=9,Lyy=90-20²/5=10;于是 β̂₁=Lxy/Lxx=0.9,β̂₀=ȳ-β̂₁x̄=4-2.7=1.3,回归方程 ŷ=1.3+0.9x。(2)平方和分解:总平方和 SST=Lyy=10,回归平方和 SSR=β̂₁×Lxy=0.9×9=8.1,残差平方和 SSE=10-8.1=1.9,判定系数 R²=8.1/10=0.81,含义落在「变差被解释的比例」:销售额总变差中约 81% 可由广告费的线性关系解释。(3)回归系数表述必须落在「平均变化」:广告费每增加 1 万元,销售额平均增加 0.9 万元;x=6 时点预测 ŷ=1.3+0.9×6=6.7 万元,但 6 超出样本取值范围 1~5,属外推预测,应说明慎用。(4)F 统计量=(SSR/1)÷(SSE/(n-2))=8.1÷(1.9/3)≈12.79,大于临界值 10.13,落入拒绝域,拒绝 H₀:β₁=0,方程在 0.05 水平下显著。 【知识串联】「五个和-三个平方和-参数-拟合优度-检验」的链条环环相扣;R²=SSR/SST 与 r² 在一元场合相等,与相关系数概念题互认;F 检验与斜率的 t 检验在一元回归中等价(F 即 t 的平方);外推风险与「平均变化」措辞是表述类采分点。样本量小的场合还要谨慎解读:5 个点算出的 R² 本身波动很大,显著性检验正是为此把关;答题末尾主动说明样本量与外推的局限,属于加分表述。 【易错点】Lxy 用 Σxy 型公式算错符号;F 的自由度 1 与 n-2 记混;把点预测当区间预测;对外推不作说明;系数解读漏「平均」二字。 【变式思路】变式一:加求预测的标准误或近似区间;变式二:给 R² 反推 r 并判方向;变式三:给新数据点求残差并解释。先列五个和、收尾用 SSE=SST-SSR 自检。整题数值环环相扣,前一步算错后步全错,逐行验算比回头重算省时。

答案 C(2/e)

解析 【考点定位】出自概率论「常见分布与数字特征」知识点,为 2023 年 303 数学(三)单选第 8 题,考查泊松分布的期望与绝对值期望计算,关键一步在把 E|X-EX| 按 X 与 EX 的大小关系拆段求和,是近年数三概率小题里计算量偏大的一档,432 概率论部分同型常见。 【逐项分析】X 服从泊松分布 P(1),则 EX=1。把绝对值按取值拆开:X=0 时 |X-EX|=1,X≥1 时 |X-EX|=X-1。于是 E|X-EX|=1×P(X=0)+Σ(k-1)P(X=k)(k 从 1 起)。头一段 P(X=0)=e⁻¹;后一段 Σ(k-1)P(X=k)=ΣkP(X=k)-ΣP(X=k)=EX-[1-P(X=0)]=1-(1-e⁻¹)=e⁻¹。合计 E|X-EX|=e⁻¹+e⁻¹=2/e,选 C。干扰项溯源:A 项 1/e 只累计了 X=0 那一段;B 项 1/2 来自「绝对值偏差对称、期望取半」的直觉误推,泊松分布右偏并不对称;D 项 1 恰为 EX 本身,等于把绝对值当普通期望直接代,忽略绝对值不可与期望交换。 【知识串联】泊松分布 P(λ) 的期望与方差都等于 λ,分布律 P(X=k)=λ^k×e^(-λ)/k!;绝对值期望的标准处理是按取值分段去掉绝对值再逐段求和,与连续场合按密度分段积分同构;本题手法覆盖 E|X-c| 一族题目;同年数三第 10 题的 E|X1-X2| 同属绝对值期望家族,可见这是近年命题的一个固定小切口。泊松分布的另一常考面是与二项分布的近似:试验次数多而成功概率小时,二项可用泊松近似,参数即两者乘积;连同分布律与数字特征,泊松考点集中在三件套。记忆锚点:λ=1 时 P(X=0)=e⁻¹≈0.368,本题头一段正是它。 【易错点】直接写 E|X-1|=|EX-1|=0(线性性不容许把期望提进绝对值);分段时漏掉 X=0 段或 k 的起点错位;P(X=0) 的 e⁻¹ 记错;选 D 把 EX 当答案。此外,和式的起止与分段端点要写清楚,求和从哪个下标起看段而定,起止含糊是这类离散求和的第二大错源。 【变式思路】变式一:λ 改 2 重算;变式二:改求 E|X-2|(拆点移到 2,分三段);变式三:正态场合 N(0,σ²) 的 E|X| 结果 σ√(2/π) 作对照记忆。口诀「绝对值先分段、分段后求和」。

答案 -1/3

解析 【考点定位】出自概率论「随机变量的数字特征」知识点,为 2023 年 303 数学(三)填空第 16 题,考查独立二项变量的方差、线性组合的协方差与相关系数的组装,四层链条(方差-协方差-组合方差-归一)一气呵成,是当年卷内小分题的区分点,也是 432 概率论部分的通用考法。 【得分点结构】由 X~B(1,p)、Y~B(2,p):D(X)=p(1-p),D(Y)=2p(1-p)。协方差按展开:Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y),X 与 Y 独立使两个交叉协方差为零,剩下 D(X)-D(Y)=p(1-p)-2p(1-p)=-p(1-p)。组合方差:独立时方差可加,D(X+Y)=D(X)+D(Y)=3p(1-p),同理 D(X-Y)=3p(1-p)。组装:ρ=Cov(X+Y,X-Y)÷√(D(X+Y)×D(X-Y))=-p(1-p)÷[3p(1-p)]=-1/3。p 的消失并非巧合:p∈(0,1) 保证分母非零,相关系数作为无量纲量本就与参数尺度无关。 【知识串联】协方差的双线性展开 Cov(aX+bY,cX+dY) 是本题引擎;「独立则协方差为零」反复使用;相关系数把协方差按两个标准差归一、消除量纲;本题与 2022 年数三第 8 题(方差线性组合)、第 10 题(协方差定义)同族,两年接连在数字特征组装上命题,该点是数三概率小题的主轴,432 概率论部分同样以此为主线。相关系数的边界要配套记:绝对值不超过 1,完全线性相关时达到正负 1;本题两个组合的相关系数为负,说明 X+Y 与 X-Y 大体反向变动;结论与 p 无关的性质也常被单独命题。 【易错点】展开漏项或 -Cov(Y,Y) 的符号弄错;误以为 X+Y 与 X-Y 独立(协方差非零恰说明存在线性关联);D(X-Y) 写成 D(X)-D(Y)(方差不满足减法);算出比值忘约分或漏定负号。填空题没有过程分,符号与约分须一步到位,建议末了用「协方差为负、两个方差均为正」复核符号的合理性。 【变式思路】变式一:X、Y 改为同参数 B(1,p) 的独立变量,重算可得相关系数为 0(方差相等时两组合不相关);变式二:改求 ρ(X+Y,2X-Y);变式三:换成独立泊松变量版本。模板「方差-协方差-组合-归一」四行打天下。